1 引 言

连续介质力学研究连续介质的宏观力学行为.连续介质力学用统一的观点来研究固体和流体的力学问题.按连续统一的观点 (爱林根1991, 爱林根1985, Eringen1962)研究电磁场与连续介质的相互作用.

客观上,连续介质力学已经分成为以研究线性连续介质理论为主的古典连续介质力学和以研究非线性连续介质理论为主的近代连续介质力学.而近代连续介质力学又可分为理性连续介质力学和计算连续介质力学,前者按理性力学的观点和方法研究连续介质理论,后者把连续介质力学和电子计算机结合起来.

分析力学建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上.1788年Lagrange出版的不朽名著《MécaniqueAnalytique》是世界上最早的一本分析力学的著作 (Lagrange 1788).1760---1761年, 拉格朗日把这两个原理和理想约束结合,得到了动力学的普遍方程,几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的.逐步形成分析动力学的Lagrange体系, 其核心是Lagrange方程.

1834年和1843年Hamilton分别建立了Hamilton原理和正则方程 (Hamilton 1835),把分析力学推进一步.Hamilton用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究各类力学问题.它的优点是可以推广到新领域和应用变分学中的近似法来解题.逐步形成分析动力学的Hamilton体系, 其核心是Hamilton原理.

由于Hamilton原理具有便于应用于其他学科和可以应用变分原理的直接方法进行近似计算的优点,使得Hamilton原理在固体动力学、刚体动力学、流体动力学、电动力学、控制理论、量子力学、统计物理学等学科都有重要的应用,相关的研究成果非常丰富, 限于篇幅,这里仅介绍连续介质力学的Hamilton原理的国外部分近期研究情况.Zenkour (1989)建立了各向异性弹性体的混合型Hamilton变分原理; Gouin(2008)基于Hamilton原理, 建立了连续介质力学的混合型变分原理;Lyakhov (1992)建立了基于Hamilton原理的锚链动力学的变分原理;Maximov(2010)对耗散性水动力学中的Hamilton型变分原理及其应用进行了研究;Kim等 (2013)建立了连续介质动力学的修正型Hamilton原理;Hanyga和Seredynska(2008)建立了黏弹性力学的Hamilton型和Lagrange型理论;Fahrenthold和Koo(1999)给出了黏性可压缩流体动力学的离散型Hamilton方程; Granados(1998)应用Hamilton原理建立了非保守和多维空间的变分原理; Yang和Liu(2017)把Lagrange方程中的自由能代替弹性体的应变能,建立了非弹性体的Hamilton原理; Altay和Dokmeci(2005)应用Hamilton原理建立了三场变分原理等.由于Hamilton原理的重要性和应用领域的广泛性,学术界对Hamilton原理的研究已经比较充分,但将Lagrange方程应用于连续介质动力学问题的研究比较欠缺,因此本文重点介绍将Lagrange方程应用于连续介质动力学问题.加强对将Lagrange方程应用于连续介质动力学问题的研究,目的是开发Lagrange方程的重要性和应用领域的广泛性.

如何将Lagrange方程应用于弹性动力学的问题,一直是各国学者关注的研究课题. 我国学者的研究是卓有成效的,注意到将分析力学从质点刚体力学扩展到弹性力学、从离散系统扩展到连续系统的问题,锲而不舍地研究将Lagrange方程应用于弹性动力学 (汪家訸 1958, 沈惠川1998, 王琪和陆启韶 2001, 陈滨和梅凤翔 1994, 梅凤翔等 1996, 陈滨 2010, 梅凤翔 2013a). 国外学者的研究也层出不穷,近期研究内容涉及Euler--Bernoulli梁理论 (Mahmoudkhani 2017),不同截面形式柱状结构的稳定性问题 (Seiranyan 1984),各向异性的壳结构 (Zhavoronok 2015), 广义位移量和柯西应力问题(Souchet 2014), 声振系统 (Kim & Senda 2007), 流致振动分析(Longatte et al. 2003). 国际知名学者Goldstein的著作《Classical Mechanics》 (Goldstein et al. 2001),从第一版到第三版都将此作为一个专题,研究将Lagrange方程应用于弹性动力学的问题,为解决这个理论难题做出重要贡献,可以代表部分国际学者对这一领域的研究的历史和现状. 但是, Goldstein 先生在研究中, 采用将弹性直杆离散为串联的弹簧的力学模型,不能涵盖弹性力学的全貌,因此还需探索其他途径来解决将Lagrange方程应用于连续介质弹性动力学的问题.本文作者应用变导的概念和运算法则,研究了Lagrange方程中的求导的性质,进而将Lagrange方程应用于线性弹性动力学 (梁立孚等 2015);冯晓九和梁立孚 (2016)将这种方法应用于非线性弹性动力学.应用这种方法也可以将Lagrange方程应用于流体力学和电动力学等学科.

关于将Lagrange方程应用于流体动力学的问题,国内和国际学者研究的较少. Lagrange在其著作《MéaniqueAnalytique》中用了较大篇幅研究流体力学, 可惜的是,由于当时自然科学发展程度的限制,这位分析力学大师未能给出适用于流体力学的Lagrange方程. 但是,Lagrange的这些研究工作,为后来各国学者力图解决这个理论难题打下良好的基础. 近年来,国际学者对这类问题进行了有益的研究. 例如, Tran-Cong(1996)研究了无条件约束的流体力学的变分原理; Irschik和Holl (2002,2015)在连续介质力学的Lagrange描述的框架中, 通过弱化Ritz近似,推导出Lagrange方程的局部形式; Auffray等(2015)证明了一个固定作用原理适用于毛细流体, 涉及到拉格朗日函数;Hean和Fahrenthold(2017)建立了多尺度热流体力学的离散型Lagrange方程.我国学者对流体力学的变分原理的研究处于领先地位 (Chien 1984, 刘高联1989, 梁立孚和石志飞1993). 如本文作者, 应用变导的概念和运算法则,将Lagrange方程应用于理想流体动力学, 推导出理想流体力学的控制方程.应用Lagrange-Hamilton体系,成功地由不可压缩黏性流体动力学的Hamilton型拟变分原理推导出不可压缩黏性流体动力学的Lagrange方程,进而推导出不可压缩黏性流体动力学的控制方程.还探讨了将Lagrange方程应用于可压缩黏性流体动力学问题,并且推导出可压缩黏性流体动力学的控制方程.可以说较全面地解决了如何将Lagrange方程应用于流体动力学的问题(梁立孚和周平2018).

关于电磁连续介质力学(含电动力学)的Hamilton原理和Lagrange方程的国内和国际的研究进展,将在本文的第8节第 (3)小节中说明.关于耦合动力学等学科的Hamilton原理和Lagrange方程的国内和国际的研究进展,将在本文的相应的节次中进行.

这里特别指出,我国学者在Lagrange系统的积分理论、对称性与守恒量领域进行了出色的研究(Mei 2000, 郭永新等 2004, 张毅等 2006, 梅凤翔和尚玫2000,张毅和梅凤翔 2004, Mei & Xu 2005, Chen et al. 2008,蔡建乐和梅凤翔2008, 梅凤翔2013b).这对解决Lagrange方程应用于连续介质力学的问题是有力的支持.

如前所述, 同样一个分析力学问题, 既可以采用Lagrange体系,建立问题的Lagrange方程来研究, 也可以采用Hamilton体系,建立问题的Hamilton原理来研究. 既然如此, 不难认识到,在Lagrange体系和Hamilton体系之间必然存在有机联系,这就是Lagrange-Hamilton体系: 对于保守系统,Lagrange方程是Hamilton原理的驻值条件; 对于非保守系统,Lagrange方程是Hamilton型拟变分原理的拟驻值条件 (梁立孚等2016).本文采用Lagrange-Hamilton体系,分别论述了非保守非线性弹性动力学、不可压缩黏性流体动力学、黏弹性动力学、热弹性动力学、刚--弹耦合动力学和刚--液耦合动力学的Lagrange方程及其应用.论述了应用Lagrange方程建立有限元计算模型的问题. 最后,展望了连续介质分析动力学的发展前景.

2 非保守非线性弹性动力学的Lagrange方程

本文作者建立了非保守非线性弹性动力学的Hamilton原理 (梁立孚等2015).在此基础上, 应用Lagrange-Hamilton体系, 借助变导的运算,推导出非保守非线性弹性动力学的Lagrange方程,进而建立非保守非线性弹性动力学的控制方程.

2.1 非保守非线性弹性动力学的Lagrange方程

非保守非线性弹性动力学一类变量的拟Hamilton原理为

$$\delta \varPi _{\rm H1} - \delta Q_{\rm H} = 0(1)$$

式中

$$\varPi _{\rm H1} = \int_{t_0 }^{t_1 } \left\{ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \frac{1}{2}\rho \dot {\pmb u} \cdot \dot {\pmb u}{\rm d}V - \Bigg[ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \Bigg( A\Bigg( \frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla + \frac{1}{2}\nabla \pmb u \cdot \pmb u\nabla \Bigg) - \right. $$ $$\left. \pmb f \cdot \pmb u -\pmb f_{\rm N} \cdot \pmb u \Bigg){\rm d}V - \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } \left(\pmb T + \pmb T_{\rm N} \right) \cdot \pmb u {\rm d}S \Bigg] \right\}{\rm d}t$$ $$\delta Q_{\rm H} = \int_{t_0 }^{t_1 } {\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb u \cdot \delta \pmb f_{\rm N} {\rm d}V} }{\rm d}t + \int_{t_0 }^{t_1 } {\int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb u \cdot \delta \pmb T_{\rm N} {\rm d}S} }{\rm d}t % \end{array}$$

其先决条件为

$$\pmb u - \bar {\pmb u} =\pmb 0 \quad (\mbox{在} S_u \mbox{上})(2)$$

系统的动能为

$$ T_{\rm d} = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V}{\frac{1}{2}\rho \dot {\pmb u} \cdot \dot {\pmb u}{\rm d}V}(3)$$

系统的势能为

$$U = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V}{\left[ {A\left( {\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla + \frac{1}{2}\nabla \pmb u \cdot \pmb u \nabla } \right) -\pmb f \cdot \pmb u} \right]{\rm d}V} - \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T \cdot \pmb u {\rm d}S}(4)$$

系统的拟势能为

$$U_{\rm q} = - \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb f_{\rm N} \cdot \pmb u {\rm d}V} - \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T_{\rm N} \cdot \pmb u {\rm d}S}(5)$$

非保守系统的余虚功为

$$\delta Q_{\rm H} = \int_{t_0 }^{t_1 } {\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb u \cdot \delta \pmb f_{\rm N} {\rm d}V} }{\rm d}t + \int_{t_0 }^{t_1 } {\int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb u \cdot \delta \pmb T_{\rm N} {\rm d}S} }{\rm d}t(6)$$

其中, $\pmb u$为位移矢量, $\pmb f$为保守体力矢量,$\pmb f_{\rm N} $非保守体力矢量, $\pmb T$为保守面力矢量, $\pmb T_{\rm N} $非保守面力矢量, $\rho$为密度, $\nabla $为Hamilton算子,$S_\sigma $为应力边界, $S_u$为位移边界, $V$为空间体积域.

将式(3) $\sim $式(6)代入式(1), 应用Lagrange-Hamilton体系,通过推导拟Hamilton原理的拟驻值条件,可得非保守非线性弹性动力学一类变量的Lagrange方程

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {\pmb u}} + \frac{\partial U}{\partial \pmb u} = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb f_{\rm N} {\rm d}V} + \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T_{\rm N} {\rm d}S}(7)$$

用类似的方法可以推导出非保守非线性弹性动力学两类变量的Lagrange方程,不再赘述.

2.2 应用Lagrange方程推导非保守非线性弹性动力学的控制方程

根据变导的运算法则和Lagrange方程中求导的性质,推导可得Lagrange方程中的各项, 并代入式 (7),可得非保守非线性弹性动力学一类变量的控制方程

$$\left. {\begin{array}{l} \rho \ddot {\pmb u} - \nabla \cdot \left[ {\left( {\pmb I + \pmb u\nabla } \right) \cdot \frac{\partial A\left( {\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla + \frac{1}{2}\nabla \pmb u \cdot \pmb u\nabla } \right)}{\partial \left( {\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla + \frac{1}{2}\nabla \pmb u \cdot \pmb u\nabla } \right)}} \right] - \pmb f - \pmb f_{\rm N} =\pmb 0 \\ \left( {\pmb I + \pmb u\nabla } \right) \cdot \frac{\partial A\left({\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla + \frac{1}{2}\nabla \pmb u \cdot \pmb u\nabla } \right)}{\partial \left( {\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla + \frac{1}{2}\nabla \pmb u \cdot \pmb u\nabla } \right)} \cdot\pmb n -\pmb T - \pmb T_{\rm N} =\pmb 0 \\ \end{array}} \right\}(8)$$

先决条件为式 (2).

应用类似方法, 可得非保守非线性弹性动力学二类变量的控制方程,不再赘述.

以上问题的详细推导过程, 可以参阅文献 (周平和梁立孚2017).

对于H. H. E. Leipholz创立伴生力型的非保守系统, 寻找合适的算例是困难的.本文作者将非保守系统变分原理应用于气动弹性问题 (Liang et al. 2005),不仅可以解决气动弹性这个技术难题, 而且可以较好地说明伴生力的意义.

3 不可压缩黏性流体动力学的Lagrange方程

由于黏性的存在,使得不可压缩黏性流体动力学成为非保守系统的力学问题.鉴于不可压缩黏性流体动力学的Lagrange方程是不可压缩黏性流体动力学的Hamilton型拟变分原理的拟驻值条件,本节是由不可压缩黏性流体动力学的Hamilton型拟变分原理推导出不可压缩黏性流体动力学的Lagrange方程,然后,再由不可压缩黏性流体动力学的Lagrange方程推导出不可压缩黏性流体动力学的控制方程.

3.1 不可压缩黏性流体动力学的 Lagrange方程

不可压缩黏性流体动力学的Hamilton型拟变分原理可以表示为

$$ \delta \varPi _1 + \delta Q = 0(9)$$

式中

$$%\begin{array}{l} \varPi _{1} = \int_{t_0 }^{t_1 } \left\{ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \left[\frac{1}{2}\rho\pmb v^{\rm q}\cdot\pmb v^{\rm q}+p\pmb I:\nabla \pmb u^{\rm q}-\mu\left(\nabla \pmb v^{\rm q}+\pmb v^{\rm q}\nabla \right):\nabla \pmb u^{\rm q}+\pmb f^{\rm q}\cdot\pmb u^{\rm q}\right]{\rm d}V+ \right.$$ $$\left. \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_{\rm f}}\pmb T^{\rm q}\cdot\pmb u^{\rm q}{\rm d}S\right\}{\rm d}t$$ $$\delta Q = \int_{t_0 }^{t_1 } \Bigg[\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \nabla \pmb u^{\rm q}:\delta \mu\left(\nabla \pmb v^{\rm q}+\pmb v^{\rm q}\nabla \right){\rm d}V\Bigg]{\rm d}t % \end{array}$$

其先决条件

$$\begin{array}{l} \pmb v^{\rm q} - \frac{{\rm d} \pmb u^{\rm q}}{{\rm d}t} = \textbf{0} \\ \pmb u^{\rm q} - \bar{\pmb u}= \textbf{0} \quad (\mbox{在} S_{\rm w} \mbox{上}) \\ \end{array}(10)$$

其中, $\rho $是密度, 为零阶张量 (标量); $\pmb v^{\rm q}$为流体速度矢量 (一阶张量); $\pmb f^{\rm q}$为单位体积流体所受的体积力矢量; $\mu $为黏性系数标量; $\pmb I$为二阶单位张量; $p$为流体压强, 为零阶张量 (标量); $\pmb n^{\rm q}$为流体边界面单位外法向矢量; $\pmb T^{\rm q}$为流体所受的面积力矢量; $\pmb u^{\rm q}$为流体位移矢量. $\nabla $为梯度算子 (又称Hamilton算子). $S_{\rm w} $为固壁边界面, $S_{\rm f} $为自由表面.系统的动能为

$$ T_{\rm d}= \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\frac{1}{2}\rho \pmb v^{\rm q} \cdot \pmb v^{\rm q}{\rm d}V}(11)$$

系统的势能为

$$U = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\left( { - p\pmb I:\nabla \pmb u^{\rm q} -\pmb f^{\rm q} \cdot \pmb u ^{\rm q}} \right){\rm d}V} - \mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_{\rm f} } {\pmb T^{\rm q} \cdot \pmb u ^{\rm q}{\rm d}S}(12)$$

将黏性阻力引起的流体剪切应力视为非保守广义力, 表示为

$$\pmb \tau _{\rm N}^{\rm q} = \mu \left( {\nabla \pmb v^{\rm q} + \pmb v^{\rm q}\nabla } \right)(13)$$

则系统的拟势能为

$$ U_{\rm N} = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\mu \left( {\nabla \pmb v^{\rm q} + \pmb v^{\rm q}\nabla } \right):\nabla \pmb u^{\rm q}}{\rm d}V = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb \tau _{\rm N} :\nabla \pmb u^{\rm q}}{\rm d}V(14)$$

非保守系统的余虚功为

$$ \delta Q = \int_{t_0 }^{t_1 } {\Bigg[{\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\nabla \pmb u^{\rm q}:\delta \mu }\left( {\nabla \pmb v^{\rm q} + \pmb v^{\rm q}\nabla } \right){\rm d}V} \Bigg]{\rm d}t} = \int_{t_0 }^{t_1 } {\Bigg[ {\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\nabla \pmb u^{\rm q}}:\delta \pmb \tau _{\rm N} {\rm d}V} \Bigg]}{\rm d}t(15)$$

将式 (11) $\sim $式 (15)代入式 (9), 应用Lagrange-Hamilton体系,通过推导拟Hamilton原理的拟驻值条件, 并考虑到边界条件$\pmb u^{\rm q} - \bar{\pmb u}=\pmb 0$,可得不可压缩黏性流体动力学的Lagrange方程

$$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \pmb v^{\rm q}} + \frac{\partial U}{\partial\pmb u^{\rm q}} - \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\nabla \cdot\pmb \tau _{\rm N} {\rm d}V} + \mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_{\rm f} } {\pmb \tau _{\rm N} \cdot \pmb n{\rm d}S} = 0(16)$$

详细的推导过程参见 (梁立孚和周平 2018).

3.2 应用Lagrange方程推导黏性流体动力学的控制方程

根据变导的运算法则和Lagrange方程中求导的性质,推导可得Lagrange方程中的各项, 并代入式 (16),可得不可压缩黏性流体动力学控制方程

$$ \left. {\begin{array}{l} \rho \dot {\pmb v}^{\rm q} + \nabla \cdot \left[ {p\pmb I - \mu \left( {\nabla \pmb v^{\rm q} + \pmb v^{\rm q}\nabla } \right)} \right] -\pmb f^{\rm q} = \textbf{0} \\ - p\pmb I \cdot \pmb n + \mu \left( {\nabla \pmb v^{\rm q} + \pmb v^{\rm q}\nabla } \right) \cdot \pmb n -\pmb T^{\rm q} = \textbf{0} \\ \end{array}} \right\}(17)$$

不可压缩黏性流体动力学控制方程 (17)与其先决条件 (10)构成封闭的微分方程组. 详细的推导过程参见梁立孚和周平 (2018)的文章.

这部分内容的应用范围较广, 在航空、航天、航海等领域都有重要的应用.

但要注意一个问题, 第1节中的非保守力为 Leipholz伴生力,第2节中的非保守力为黏性阻力,这两节的Hamilton型变分原理中的非保守力的表示形式不同. 其实,第2节非保守力也可以写为第1节的形式, 周平等(2009)的算例便说明了这个问题.

4 黏弹性动力学的Lagrange方程

黏弹性体可以理解为是弹性体与液体的混合物.在黏弹性体发生应变的时候, 其中的弹性部分承担静态的应力,而液体部分不承担静态的应力. 当应变对时间的导数不为零的时候,液体部分由于存在微观摩擦, 出现黏度, 而承担动态的应力. 因此,一个静态的黏弹性体与一个纯弹性体相当.本节以一类变量问题为例来讨论问题.

我国学者对黏弹性力学的理论、方法和应用等方面进行了充分的研究(杨挺青1990, 罗恩 1990, 程昌钧和朱正佑2003), 例如,黏弹性问题的数学模型、黏弹性结构的变分原理与对应原理、求解黏弹性问题的计算方法、黏弹性结构的动力学行为与动力稳定性、黏弹性介质的散射和逆散射问题等.本文作者建立了非保守黏弹性动力学的拟Hamilton原理和Lagrange方程(周平和梁立孚 2017).

黏弹性动力学的本构方程由弹性和黏性两部分组成,弹性部分服从广义胡克定律, 黏性部分服从广义牛顿黏性定律.应用Kelvin模型, 黏弹性本构关系表示为

$$\pmb \sigma =\pmb a:\left( {\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla } \right) + \mu \left( {\nabla \dot {\pmb u} + \dot {\pmb u}\nabla } \right)\quad \mbox{(一类变量)}(18)$$

4.1 非保守黏弹性动力学的Lagrange方程

非保守黏弹性动力学一类变量的拟Hamilton原理为

$$ \delta \varPi _{\rm H1} - \delta Q_{\rm H} = 0(19)$$

式中

$$ \varPi _{\rm H1} = \int_{t_0 }^{t_1 } \Bigg\{ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \frac{1}{2}\rho \dot {\pmb u} \cdot \dot {\pmb u}{\rm d}V - \Bigg\{ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \bigg[ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla \right):\pmb a:\left(\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla \right)+ $$

$$ \mu \left( \nabla \dot {\pmb u} + \dot {\pmb u}\nabla \right):\nabla \pmb u -\pmb f \cdot \pmb u - \pmb f_{\rm N} \cdot \pmb u \bigg]{\rm d}V- \mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } \left( {\pmb T + \pmb T_{\rm N} } \right) \cdot \pmb u {\rm d}S \Bigg \} \Bigg\}{\rm d}t $$

$$\delta Q_{\rm H} = \int_{t_0 }^{t_1 }{\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\left[ {\pmb u \cdot \delta \pmb f_{\rm N} - \nabla \pmb u:\delta \mu \left( {\nabla \dot {\pmb u} + \dot {\pmb u}\nabla } \right){\rm d}V} \right]}}{\rm d}t + \int_{t_0 }^{t_1 } {\mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb u \cdot \delta \pmb T_{\rm N} {\rm d}S}}{\rm d}t $$

其先决条件为式

$$\pmb u - \bar {\pmb u} =\pmb 0 \quad (\mbox{在} S_u\mbox{上})(20)$$

这就是非保守黏弹性动力学一类变量的拟Hamilton原理.

系统的动能为

$$ T_{\rm d} = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\frac{1}{2}\rho \dot {\pmb u} \cdot \dot {\pmb u}{\rm d}V}(21)$$

系统的势能为

$$ U = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\left[ {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla } \right):\pmb a:\left({\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla } \right) -\pmb f \cdot \pmb u } \right]{\rm d}V} - \mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T \cdot \pmb u {\rm d}S}(22)$$

将黏性阻力引起的流体剪切应力视为非保守广义力, 表示为

$$ \pmb \tau _{\rm N} = \mu \left( {\nabla \dot {\pmb u} + \dot {\pmb u}\nabla } \right)(23)$$

则系统的拟势能为

$$ U_{\rm q} = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} { \pmb \tau _{\rm N} :\nabla \pmb u}{\rm d}V - \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V}{\pmb f_{\rm N} \cdot \pmb u {\rm d}V} - \mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T_{\rm N} \cdot \pmb u {\rm d}S}(24)$$

非保守系统的余虚功为

$$ \delta Q_{\rm H} = \int_{t_0 }^{t_1 } {\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb u \cdot \delta \pmb f_{\rm N} {\rm d}V}}{\rm d}t + \int_{t_0 }^{t_1 } {\mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb u \cdot \delta \pmb T_{\rm N} {\rm d}S}}{\rm d}t - \int_{t_0 }^{t_1 } {\Bigg[ {\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\nabla \pmb u^{\rm q}:\delta } \pmb \tau _{\rm N} {\rm d}V} \Bigg]}{\rm d}t(25)$$

将式(21) $\sim $式 (25)代入式 (19), 应用Lagrange-Hamilton体系,通过推导拟Hamilton原理的拟驻值条件,可得非保守黏弹性动力学一类变量的Lagrange方程

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {\pmb u}} + \frac{\partial U}{\partial \pmb u} - \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\nabla \cdot\pmb \tau _{\rm N} {\rm d}V} + \mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } { \pmb \tau _{\rm N} \cdot \pmb n{\rm d}S} = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb f_{\rm N} {\rm d}V} + \mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T_{\rm N} {\rm d}S}(26)$$

4.2 应用Lagrange方程推导非保守黏弹性动力学的控制方程

根据变导的运算法则和Lagrange方程中求导的性质,推导可得Lagrange方程中的各项, 并代入式 (26),可得非保守黏弹性动力学控制方程

$$ \left. {\begin{array}{l} \rho \ddot {\pmb u} - \nabla \cdot \left[ {\frac{1}{2}(\nabla \pmb u + \pmb u\nabla ):\pmb a + \mu \left( {\nabla \dot {\pmb u} + \dot {\pmb u}\nabla } \right)} \right] -\pmb f - \pmb f_{\rm N} =\pmb 0 \\ \left[ {\left( {\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla } \right):\pmb a + \mu \left( {\nabla \dot {\pmb u} + \dot {\pmb u}\nabla } \right)} \right] \cdot \pmb n -\pmb T - \pmb T_{\rm N} =\pmb 0 \\ \end{array}} \right\}(27)$$

先决条件为式 (20).

详细的推导过程参见 周平和梁立孚 (2017)的文章.

这部分内容的应用范围很广,例如可以分析柱、梁、薄板等结构的稳定性和混沌运动,揭示出系统的一些动力学性质. 固体火箭发动机的火药柱,是典型的黏弹性材料, 在固体火箭发动机的火药柱的 (静)动力强度计算中,黏弹性动力学的Lagrange方程和Hamilton原理是大有用武之地的.还可以建立刚--黏弹性耦合动力学的Hamilton原理和Lagrange方程,应用于航空、航天、航海和机器人动力学.

5 热弹性动力学的Lagrange方程

航天科学技术向着更高更快的方向发展,高超声速飞行器逐步成为研究的热点. 这类飞行器的飞行马赫数高,气动加热效应大, 在飞行过程中承受着严酷的气动力和气动热载荷.高温环境会降低结构的材料性能, 使结构产生热应力、热变形、热屈曲等,改变结构的动力学特性. 因此,需要开展一系列高温环境下飞行器结构动力学理论分析与试验研究.我国是一个航天大国, 我国学者在热弹性动力学方面做出了重要贡献(杨炳渊等2008, 范绪箕2009, 闵桂荣和郭舜1998, 刘锦阳和洪嘉振 2006).本文作者建立了线性和非线性刚--热弹耦合动力学的Hamilton原理,并且应用于研究结构的热弹耦合稳定性问题 (冯晓九等2016)和所谓热力刚化问题 (Song et al. 2015).

众所周知, 结构的热效应主要体现在两个方面,一是引起结构材料的性能降低, 一是引起热应力.本文在同时考虑这两种热效应的情况下来讨论问题.

5.1 非保守系统热弹性动力学的Lagrange方程

非保守热弹性动力学一类变量的拟Hamilton原理为

$$ \delta \varPi _{\rm H1} - \delta Q_{\rm H} = 0(28)$$

式中

$$ \varPi _{\rm H1} = \int_{t_0 }^{t_1 } \Bigg\{ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \frac{1}{2}\rho \dot {\pmb u} \cdot \dot {\pmb u}{\rm d}V - \Bigg[ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \bigg( \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla \right):\left(\pmb a+\frac{\partial\pmb a}{\partial T_{\rm d}}\Delta T_{\rm d}\right):$$ $$\left(\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla \right)- \pmb I\alpha\Delta T_{\rm d}: \left(\pmb a+\frac{\partial\pmb a}{\partial T_{\rm d}}\Delta T_{\rm d}\right):\left(\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla \right)-\pmb f \cdot \pmb u - \pmb f_{\rm N} \cdot \pmb u \bigg){\rm d}V- $$

$$\mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } \left( {\pmb T + \pmb T_{\rm N} } \right)\cdot \pmb u {\rm d}S \Bigg ] \Bigg\}{\rm d}t$$

$$\delta Q_{\rm H} = \int_{t_0 }^{t_1 }{\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V}{\pmb u \cdot \delta \pmb f_{\rm N} {\rm d}V}}{\rm d}t + \int_{t_0 }^{t_1 } {\mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb u \cdot \delta \pmb T_{\rm N} {\rm d}S}}{\rm d}t$$

其先决条件为

$$ \pmb u - \bar {\pmb u} = \pmb 0 \quad (\mbox{在}S_u\mbox{上})(29)$$

系统的动能为

$$ T_{\rm d} = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\frac{1}{2}\rho \dot {\pmb u} \cdot \dot {\pmb u}{\rm d}V}(30)$$ 系统的势能为 $$U = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \bigg[ \frac{1}{2}\bigg(\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla \bigg):\bigg( \pmb a + \frac{\partial \pmb a}{\partial T_{\rm d}}\Delta T_{\rm d}\bigg):\bigg(\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla\bigg) - $$ $$ \pmb I\alpha \Delta T_{\rm d}:\bigg( \pmb a + \frac{\partial \pmb a}{\partial T_{\rm d}}\Delta T_{\rm d}\bigg):\bigg(\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla \bigg) -\pmb f \cdot \pmb u \bigg]{\rm d}V - \mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T \cdot \pmb u {\rm d}S}(31)$$

系统的拟势能为

$$U_{\rm q} = - \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb f_{\rm N} \cdot \pmb u {\rm d}V} - \mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T_{\rm N} \cdot \pmb u {\rm d}S}(32)$$

非保守系统的余虚功为

$$ \delta Q_{\rm H} = \int_{t_0 }^{t_1 } {\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb u \cdot \delta \pmb f_{\rm N} {\rm d}V}}{\rm d}t + \int_{t_0 }^{t_1 } {\mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb u \cdot \delta \pmb T_{\rm N} {\rm d}S}}{\rm d}t(33)$$

将式(30) $\sim $式 (33)代入式 (28), 应用Lagrange-Hamilton体系,通过推导拟Hamilton原理的拟驻值条件,可得非保守热弹性动力学一类变量的Lagrange方程

$$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {\pmb u}} + \frac{\partial U}{\partial \pmb u} = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb f_{\rm N} {\rm d}V} + \mathop{\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T_{\rm N} {\rm d}S}(34)$$

用类似的方法可以推导出非保守系统热弹性动力学两类变量的Lagrange方程,不再赘述.

5.2 应用Lagrange方程推导非保守系统热弹性动力学的控制方程

根据变导的运算法则和Lagrange方程中求导的性质,推导可得Lagrange方程中的各项, 并代入式 (34),可得非保守系统热弹性动力学一类变量的控制方程

$$ \left.\begin{array}{l} \rho \ddot {\pmb u} - \nabla \cdot \left[ \left( {\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla } \right): \left( {\pmb a + \frac{\partial \pmb a}{\partial T_{\rm d}}\Delta T_{\rm d}} \right) -\right. \\\qquad \left.\pmb I\alpha \Delta T_{\rm d}:\left( {\pmb a + \frac{\partial \pmb a}{\partial T_{\rm d}}\Delta T_{\rm d}} \right) \right] -\pmb f - \pmb f_{\rm N} =\pmb 0 \\ \left[ \left( {\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla } \right): \left( {\pmb a + \frac{\partial \pmb a}{\partial T_{\rm d}}\Delta T_{\rm d}} \right) -\right. \\\qquad \left.\pmb I\alpha \Delta T_{\rm d}:\left( {\pmb a + \frac{\partial \pmb a}{\partial T_{\rm d}}\Delta T_{\rm d}} \right) \right] \cdot \pmb n -\pmb T - \pmb T_{\rm N} =\pmb 0 \\ \end{array}\right\}(35)$$

先决条件为式 (29).

应用类似方法, 可得非保守热弹性动力学两类变量的控制方程.

6 非保守非线性刚--弹耦合动力学的Lagrange方程

为适应航天工程的迅猛发展的需要, 出现了多柔体动力学的新兴学科.由于多柔体构形的复杂性, 直到2000年,解决多柔体动力学问题主要是依赖于数值的、定量的分析方法,几乎没有进行解析的分析讨论,这对于深刻把握系统的非线性力学实质、预测系统的全局动力学现象是十分不利的.因此, 极有必要开展多柔体系统的理论分析, 当然,这是一个十分复杂的问题, 解决它可能需要很长的时间 (马兴瑞等2001).

国内外学者在研究多柔体动力学的过程中,多数是将多柔体动力学处理为刚--弹耦合动力学. 围绕这个重要课题,本文作者开展了一些研究工作 (Liang et al. 2009, 梁立孚 2011b, Liang & Song 2013). 研究表明, 由于航天动力学是耦合动力学,应用分析动力学来研究是一个有效的途径.我们利用分析力学是用对能量与功的分析代替对力(及其相应的位移)与力矩 (及其相应的角位移)的分析的特点,根据问题的物理背景, 应用功能转换原理和能量守恒定律,正确建立耦合运动的动能和势能 (如果是非保守系统,还要建立非保守力的余虚功),进而应用Hamilton型变分原理来研究耦合动力学. 在此基础上,应用Lagrange方程开展研究工作, 在梁立孚等(2016)的专著中,进行了较为系统的研究工作, 其部分内容体现在冯晓九等(2016)的研究中.以下扼要介绍这方面的工作.

6.1 刚--弹耦合动力学的Lagrange方程

如果认为作用在变形体上的外力既有保守力又有非保守力,则导致刚体运动的力(即作用于质心的主矢和主矩)同样既有保守力又有非保守力;应用功能转换原理和能量守恒定律,可以将非保守非线性刚--弹耦合动力学的拟Hamilton原理表示为

$$ \delta \pi _{\rm H1} - \delta Q_{\rm H} = 0(36)$$

式中

$$\pi _{\rm H1} =\int_{t_0 }^{t_1 } \Bigg[ \mathop{\int}\limits_{m}\left(\frac12\frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\pmb X}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\pmb u}{{\rm d}t}+\frac12\frac{{\rm d}\pmb u}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\pmb u}{{\rm d}t}\right){\rm d}m+$$

$$ \frac{1}{2}\frac{{\rm d}\pmb\theta }{{\rm d}t} \cdot \pmb H^{\rm c} - \pi _1 + \left( \pmb F + \pmb F_{\rm N} \right) \cdot \pmb X^{\rm c} + \left( \pmb M + \pmb M_{\rm N} \right) \cdot \pmb \theta \Bigg]{\rm d}t$$

$$\pi _1 = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \left[ A\left( \frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla + \frac{1}{2}\nabla \pmb u \cdot \pmb u\nabla \right) - \left(\pmb f + \pmb f_{\rm N} \right) \cdot \pmb u \right] {\rm d}V - \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } \left( \pmb T + \pmb T_{\rm N} \right) \cdot \pmb u {\rm d}S$$

$$\delta Q_{\rm H} = \int_{t_0 }^{t_1 } \Bigg[ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \pmb u \cdot \delta \pmb f_{\rm N} {\rm d}V + \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } \pmb u \cdot \delta \pmb T_{\rm N} {\rm d}S + \left(\pmb X^{\rm c} \cdot \delta \pmb F_{\rm N} + \pmb \theta \cdot \delta \pmb M_{\rm N} \right) \Bigg] {\rm d}t$$

其先决条件为

$$\pmb u - \bar{\pmb u}=\pmb 0\quad (\mbox{在}S_u\mbox{上})(37)$$

其中, $\pmb u$为位移, $\bar{\pmb u}$为边界位移, $V$为体积,$S_\sigma $为应力边界面, $S_u$为位移边界面, $A$为应变能函数,$t$为时间, $\rho$为质量密度, $ m$为质量; $\nabla$为Hamilton算子;$\pmb f$为保守体力, $\pmb f_{\rm N}$为非保守体力, $\pmb T$为保守面积力, $\pmb T_{\rm N}$为非保守面积力, $\pmb H^{\rm c}$为对质心的动量矩, 注意, 在这一节中$\pmb H^{\rm c} =\pmb J \cdot \frac{{\rm d}\pmb\theta }{{\rm d}t}$, 有时记为$\pmb H^{\rm c}(\pmb\theta )$, $\pmb J$为对质心的转动惯量.作用于质心的主矢$\left( \pmb F +\pmb F_{\rm N} \right)$和主矩$\left(\pmb M + \pmb M_{\rm N} \right)$既有保守力又有非保守力.

刚--弹耦合动力学中的动能可以写为

$$T_{\rm d} = \mathop{\int}\limits_{m}\left(\frac12\frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\pmb X}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\pmb u}{{\rm d}t}+\frac12\frac{{\rm d}\pmb u}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\pmb u}{{\rm d}t}\right){\rm d}m+\frac12\frac{{\rm d}\pmb \theta}{{\rm d}t}\cdot\pmb H^{\rm c}= $$

$$\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \bigg[ \frac{1}{2}\rho \frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t} \cdot \frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t} + \rho \left(\frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t} + \frac{{\rm d}\pmb \theta }{{\rm d}t}\times \pmb x \right) \cdot \frac{{\rm d}\pmb u}{{\rm d}t} + \frac{1}{2}\rho \frac{{\rm d}\pmb u}{{\rm d}t} \cdot \frac{{\rm d}\pmb u}{{\rm d}t}\bigg]{\rm d}V + \frac{1}{2}\frac{{\rm d}\pmb \theta }{{\rm d}t} \cdot\pmb H^{\rm c}(38)$$

刚--弹耦合动力学中的势能可以写为

$$U = \pi _1 -\pmb F \cdot \pmb X^{\rm c} - \pmb M \cdot \pmb \theta =\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \bigg[ A\left(\frac{1}{2}\nabla \pmb u + \frac{1}{2} \pmb u\nabla + \frac{1}{2}\nabla \pmb u \cdot \pmb u\nabla \right) -\pmb f \cdot \pmb u \bigg]{\rm d}V$$

$$- \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T \cdot \pmb u }{\rm d}S -\pmb F \cdot \pmb X^{\rm c} -\pmb M \cdot \pmb \theta(39)$$

非保守系统非线性刚--弹耦合动力学的拟势能和余虚功可以表示为

$$ U_{\rm q} = - \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb u \cdot \pmb f_{\rm N} {\rm d}V} - \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb u \cdot \pmb T_{\rm N} {\rm d}S}(40)$$

$$ \delta Q_{\rm H} = \int_{t_0 }^{t_1 } {\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb u \cdot \delta \pmb f_{\rm N} {\rm d}V} }{\rm d}t + \int_{t_0 }^{t_1 } {\int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb u \cdot \delta \pmb T_{\rm N} {\rm d}S} }{\rm d}t(41)$$

将式 (38) $\sim $式 (41)代入式 (36), 应用Lagrange-Hamilton体系,通过推导拟Hamilton原理的拟驻值条件,可得非线性非保守系统刚--弹耦合动力学的Lagrange方程为

$$ \left. {\begin{array}{l} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {\pmb X}^{\rm c}} + \frac{\partial U}{\partial \pmb X^{\rm c}} - \pmb F_{\rm N} =\pmb 0 \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {\pmb \theta }} + \frac{\partial U}{\partial \theta } -\pmb M_{\rm N} =\pmb 0 \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {\pmb u}} + \frac{\partial U}{\partial \pmb u} - \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb f_{\rm N} {\rm d}V} - \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T_{\rm N} {\rm d}S} =\pmb 0 \\ \end{array}} \right\}(42)$$

具体的推导过程参见 梁立孚等 (2015)以及冯晓九等(2016)的文章.

6.2 应用刚--弹耦合动力学Lagrange方程推导其控制方程

根据变导的运算法则和Lagrange方程中求导的性质,推导可得Lagrange方程中的各项, 并代入式 (42),可得一类变量的非线性非保守刚--弹耦合动力学的控制方程

$$ \left. {\begin{array}{l} \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\rho \left( {\frac{{\rm d}^2\pmb u}{{\rm d}t^2} + \frac{{\rm d}^2\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t^2}} \right)}{\rm d}V -\pmb F -\pmb F_{\rm N} =\pmb 0 \\ -\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\rho \frac{\rm d}{{\rm d}t} \left( \frac{{\rm d}\pmb u}{{\rm d}t} \times \pmb x \right)}{\rm d}V+\frac{{\rm d}\pmb H^{\rm c}}{{\rm d}t} -\pmb M -\pmb M_{\rm N} =\pmb 0 \\ \rho\left[ \frac{{\rm d}^2\pmb u}{{\rm d}t^2} + \frac{{\rm d}^2\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t^2}+\frac{{\rm d}^2\pmb \theta}{{\rm d}t^2}\times\pmb x +\frac{{\rm d}\pmb \theta}{{\rm d}t}\times\left(\frac{{\rm d}\pmb \theta}{{\rm d}t}\times\pmb x\right) \right]- \\\qquad (\pmb I+\pmb u\nabla)\cdot\frac{\partial A\left(\frac12\nabla\pmb u+\frac12\pmb u\nabla+\frac12\nabla\pmb u\cdot\pmb u\nabla\right)}{\partial \left(\frac12\nabla\pmb u+\frac12\pmb u\nabla+\frac12\nabla\pmb u\cdot\pmb u\nabla\right)}\cdot\nabla-\pmb f-\pmb f_{\rm N}=\pmb 0\quad (\mbox{在}V\mbox{中}) \\ (\pmb I+\pmb u\nabla)\cdot\frac{\partial A\left(\frac12\nabla\pmb u+\frac12\pmb u\nabla+\frac12\nabla\pmb u\cdot\pmb u\nabla\right)}{\partial \left(\frac12\nabla\pmb u+\frac12\pmb u\nabla+\frac12\nabla\pmb u\cdot\pmb u\nabla\right)}\cdot\pmb n-\pmb T-\pmb T_{\rm N}=\pmb 0\quad (\mbox{在}S_\sigma\mbox{中})\\ \end{array}} \right\}(43)$$

先决条件为式 (37).

详细的推导过程参见 梁立孚等 (2015)以及 冯晓九等 (2016)的文章.应用类似方法可以处理两类变量非保守系统非线性刚--弹耦合动力学的Lagrange方程的问题,不再赘述.

本文作者应用刚--弹耦合动力学Hamilton原理和Lagrange方程研究自由梁的振动问题和动力刚化问题,均取得较好的效果.

7 非保守刚--液耦合动力学的Lagrange方程

随着航天事业的发展,特别是大型空间站的建立、空间实验室的出现以及探讨人类长期在宇宙空间居住或者旅行的研究工作的开展,较全面地研究流体和固体的耦合问题已经提上了日程. 对于这一研究领域,在航天器充液贮箱液固耦合机理研究和大规模液固耦合模型建模计算的应用研究方面,国内尚比较欠缺 (王照林和刘延柱 2002, 李青等 2012).

这里的刚--液耦合系统模型的简化, 在梁立孚等(2016)的文章中做了较为详细的说明. 梁立孚等(2013)建立了刚--液耦合动力学的拟Hamilton原理. 在此基础上,本文应用Lagrange-Hamilton体系,建立了刚--液耦合动力学的Lagrange方程, 进而推导出其控制方程.

7.1 刚--液耦合动力学的Lagrange方程

如果认为作用在液体上的外力既有保守力又有非保守力,则导致刚体运动的力,即作用于质心的主矢和主矩同样既有保守力又有非保守力.应用功能转换原理和能量守恒定律,一类变量刚--液耦合动力学的拟变分原理表示为

$$ \delta \pi _{rq1} - \delta Q_{rq1} = 0(44)$$

式中

$$ \pi _{{\rm rq}1} = \int_{t_0 }^{t_1 } \Bigg[ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \frac{1}{2}\rho \frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t} \cdot \frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t}{\rm d}V + \frac{1}{2}\frac{{\rm d}\pmb \theta }{{\rm d}t} \cdot\pmb J \cdot \frac{{\rm d}\pmb \theta }{{\rm d}t} + $$ $$ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt {V^{\rm q}}} \rho \left(\frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t} + \frac{{\rm d}\pmb \theta }{{\rm d}t}\times\pmb x^{\rm q} \right) \cdot \frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q}}{{\rm d}t}{\rm d}V + \pi _{{\rm q}1} + \left( \pmb F +\pmb F_{\rm N} \right) \cdot \pmb X^{\rm c} + \left( {\pmb M + \pmb M_{\rm N} } \right) \cdot \pmb \theta \Bigg]{\rm d}t $$

$$ \pi _{{\rm q}1} =\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \bigg[\frac{1}{2}\rho \frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q}}{{\rm d}t} \cdot \frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q}}{{\rm d}t} +p\pmb I:\nabla\pmb u^{\rm q}-\mu\left(\nabla \frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q} }{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q} }{{\rm d}t}\nabla \right):\nabla\pmb u^{\rm q}+ $$

$$ \left(\pmb f^{\rm q}+\pmb f^{\rm q}_{\rm N}\right)\cdot \pmb u^{\rm q}\bigg]{\rm d}V+\int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma }\left(\pmb T^{\rm q}+\pmb T^{\rm q}_{\rm N}\right)\cdot \pmb u^{\rm q}{\rm d}S $$

$$ \delta Q_{{\rm rq}1} = \int_{t_0 }^{t_1 } \left(\pmb X^{\rm c} \cdot \delta \pmb F_{\rm N} + \pmb \theta \cdot \delta\pmb M_{\rm N} \right){\rm d}t -$$

$$ \int_{t_0 }^{t_1 } \Bigg\{ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt {V^{\rm q}}} \bigg[ \nabla \pmb u^{\rm q}:\delta \mu \left( \nabla \frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q}}{{\rm d}t} + \frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q}}{{\rm d}t}\nabla \right) - \pmb u^{\rm q} \cdot \delta \pmb f_{\rm N}^{\rm q} \bigg] {\rm d}V - \int\!\!\!\!\int\limits_{S_\sigma } \pmb u^{\rm q} \cdot \delta\pmb T _{\rm N}^{\rm q} {\rm d}S \Bigg\} {\rm d}t $$

先决条件为

$$ \pmb u^{\rm q} =\pmb 0 \quad (\mbox{在}S_{\rm w}\mbox{上})(45)$$

刚--液耦合动力学中的动能可以写为

$$ T_{\rm d} =\mathop{\int}\limits_{m} \bigg(\frac{1}{2} \frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t} \cdot \frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t} +\frac{{\rm d}\pmb X }{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q} }{{\rm d}t}+\frac{1}{2}\frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q} }{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q} }{{\rm d}t}\bigg){\rm d}m+\frac{1}{2} \frac{{\rm d}\pmb \theta}{{\rm d}t}\cdot\pmb H^{\rm c}= $$

$$ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \bigg[\frac{1}{2}\rho \frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t} \cdot \frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t} +\rho \left( \frac{{\rm d}\pmb X^{\rm c} }{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\pmb \theta }{{\rm d}t}\times\pmb x^{\rm q} \right)\cdot\frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q} }{{\rm d}t} +\frac12\rho \frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q} }{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q} }{{\rm d}t}\bigg]{\rm d}V+\frac12 \frac{{\rm d}\pmb \theta}{{\rm d}t}\cdot\pmb H^{\rm c}(46) $$

刚--液耦合动力学中的势能可以写为

$$ U = \pi _{\rm q} -\pmb F \cdot \pmb X^{\rm c} -\pmb M \cdot \pmb \theta = \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt {V^{\rm q}}} \left[ p\pmb I:\nabla \pmb u^{\rm q} - \mu \left(\nabla \pmb v^{\rm q} + \pmb v^{\rm q}\nabla \right):\nabla \pmb u^{\rm q}+\pmb f^{\rm q} \cdot \pmb u ^{\rm q} \right]{\rm d}V +$$ $$\int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T^{\rm q} \cdot \pmb u ^{\rm q}{\rm d}S} -\pmb F \cdot \pmb X^{\rm c} -\pmb M \cdot \pmb \theta(47)$$

刚--液耦合动力学的拟势能和余虚功可以表示为

$$ U_{\rm q} = - \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb u^{\rm q} \cdot \pmb f_{\rm N}^{\rm q} {\rm d}V} - \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb u^{\rm q} \cdot \pmb T_{\rm N}^{\rm q} {\rm d}S}(48)$$

$$ \delta Q_{\rm rq} = \int_{t_0 }^{t_1 } \left(\pmb X^{\rm c} \cdot \delta \pmb F_{\rm N} + \pmb \theta \cdot \delta \pmb M_{\rm N} \right){\rm d}t- $$

$$ \int_{t_0 }^{t_1 } \Bigg\{ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt {V^{\rm q}}} \left[ \nabla \pmb u^{\rm q}:\delta \mu \left( \nabla \dot {\pmb u}^{\rm q} + \dot {\pmb u}^{\rm q}\nabla \right) - \pmb u^{\rm q} \cdot \delta \pmb f_{\rm N}^{\rm q} \right]{\rm d}V - \int\!\!\!\!\int\limits_{S_\sigma } \pmb u^{\rm q} \cdot \delta \pmb T_{\rm N}^{\rm q} {\rm d}S \Bigg\}{\rm d}t(49) $$

将式(46)\,$\sim $\,式(49)代入式(44), 应用Lagrange-Hamilton体系,通过推导拟Hamilton原理的拟驻值条件,可得刚--液耦合动力学一类变量的Lagrange方程为

$$ \left.\begin{array}{l} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {\pmb X}^{\rm c}} + \frac{\partial U}{\partial \pmb X^{\rm c}} - \pmb F_{\rm N} =\pmb 0 \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {\pmb \theta }} + \frac{\partial U}{\partial \pmb \theta } - \pmb M_{\rm N} =\pmb 0 \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {\pmb u}^{\rm q}} + \frac{\partial U}{\partial\pmb u^{\rm q}} - \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} {\pmb f_{\rm N}^{\rm q} {\rm d}V} - \int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma } {\pmb T_{\rm N}^{\rm q} {\rm d}S} =\pmb 0 \\ \end{array}\right\}(50)$$

7.2 应用刚--液耦合动力学Lagrange方程推导其控制方程

根据变导的运算法则和Lagrange方程中求导的性质,推导可得Lagrange方程中的各项, 并代入式 (50),可得一类变量的非保守刚--液耦合动力学的控制方程

$$ \left. \begin{array}{l} \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \rho \left(\frac{{\rm d}^2\pmb u^{\rm q}}{{\rm d}t^2} + \frac{{\rm d}^2\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t^2} \right){\rm d}V -\pmb F -\pmb F_{\rm N} =\pmb 0 \\ -\mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt V} \rho \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \left( \frac{{\rm d}\pmb u^{\rm q}}{{\rm d}t} \times \pmb x^{\rm q}\right){\rm d}V+ \frac{{\rm d} \pmb H^{\rm c}}{{\rm d}t} \pmb M -\pmb M_{\rm N} =\pmb 0 \\ \rho\left[ \frac{{\rm d}^2\pmb u^{\rm q}}{{\rm d}t^2} + \frac{{\rm d}^2\pmb X^{\rm c}}{{\rm d}t^2}+\frac{{\rm d}^2\pmb \theta}{{\rm d}t^2}\times\pmb x^{\rm q} +\frac{{\rm d}\pmb \theta}{{\rm d}t}\times\left(\frac{{\rm d}\pmb \theta}{{\rm d}t}\times\pmb x^{\rm q}\right) \right]- \\\qquad \left[-\nabla\cdot p\pmb I +\nabla\cdot\mu\left(\nabla \dot{\pmb u}^{\rm q}+\dot{\pmb u}^{\rm q}\nabla\right)+\pmb f^{\rm q}+\pmb f^{\rm q}_{\rm N}\right]=\pmb 0\quad (\mbox{在}V\mbox{中}) \\ p\pmb I\cdot\pmb n^{\rm q}-\mu(\nabla \dot{\pmb u}^{\rm q}+ \dot{\pmb u}^{\rm q}\nabla)\cdot\pmb n^{\rm q}+\pmb T^{\rm q}+\pmb T^{\rm q}_{\rm N}=\pmb 0\quad (\mbox{在}S_\sigma\mbox{中})\\ \end{array} \right\}(51)$$

先决条件为式 (45).

应用类似方法, 可得两类变量非保守刚--液耦合动力学的Lagrange方程.在与流体动力学有关的问题中, 有时这一组方程应用起来比较方便.

刚--液耦合动力学功能型拟Hamilton原理和Lagrange方程的建立,为刚--弹--液耦合动力学功能型拟Hamilton原理和Lagrange方程的建立打下基础.这类研究在航天器充液贮箱液固耦合机理研究和大规模液固耦合模型建模计算方面有重要应用.

8 应用Lagrange方程建立有限元模型

在有关文献中 (戴世强等 2001, Pian & Tong 1972,董平和罗赛托斯1979, Orlov et al. 2006), 经常可以看到这样的论述:``变分原理作为有限元素法和其他近似计算方法的理论基础,随着电子计算机的广泛应用, 越来越得到学术界的重视. ''并且,有限元素法来源于变分直接方法------Ritz法.人们在研究Ritz变分直接方法时发现,在问题的整个选值域上选择坐标函数, 由于区域大,选择一个合适的坐标函数有时相当困难, 于是人们产生一个想法:是否可以将选择域划小,从而使选择坐标函数变得容易些呢?这便是有限元素法思想的萌芽. 从此,有限元素法便应运而生了.

本节将说明, 以上应用变分原理能够做到的事情,应用Lagrange方程也可以做到. 以下, 应用Lagrange方程建立有限元模型.

8.1 应用Lagrange方程建立位移协调元模型

将弹性连续体划分为$N$个单元, 取$u_i $为自变函数,它们满足如下要求(见图1).

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图 1   弹性体单元

   

(1)在元素中, $u_i $满足$C^0$级连续;

(2)在无际边界$S_{ab} $上

$$ u_i^{(a)} = u_i^{(b)}(52)$$

(3)在边界$S_u $上

$$u_i^{(a)} = \bar {u}_i^{(a)}(53)$$

则Lagrange方程表示为

$$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {u}_i^{(a)} } + \frac{\partial U}{\partial \dot {u}_i^{(a)} } = 0(54)$$

其中

$$T_{d} = \sum \limits_{a = 1}^N \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt {V^{(a)}}}\frac{1}{2}\rho \dot {u}_i^{(a)} \dot{u}_i^{(a)} {\rm d}V(55)$$

$$ U = \sum\limits_{a = 1}^N \Bigg\{ \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt {V^{(a)}}} \left[ A\left( u_i^{(a)} \right) - f_i^{(a)} u_i^{(a)} \right] {\rm d}V - \int\!\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_\sigma ^{(a)} } T_i^{(a)} u_i^{(a)} {\rm d}S \Bigg\}(56)$$

其先决条件为式 (52)和式 (53). 这里$A(u_i )$为以$u_i$为变量的应变能函数, 对小位移理论

$$ A(u_i ) = \frac{1}{2}a_{ijkl} \left({\frac{1}{2}u_{i,j} + \frac{1}{2}u_{j,i} } \right)\left({\frac{1}{2}u_{k,l} + \frac{1}{2}u_{l,k} } \right)(57)$$

这便是适于有限元计算的Lagrange方程,它提供了有限元计算的位移协调元模型.

8.2 应用Lagrange方程建立位移杂交元模型

应用Lagrange乘子法, 将式 (52)和式 (53)纳入势能的表达式中, 则有

$$ U_m = U + \sum\limits_{a = 1}^N \Bigg[ \int\!\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_{ab} } \left(u_i^{(a)} - u_i^{(b)} \right)\lambda _i {\rm d}S + \int\!\!\!\!\!\int\limits_{\kern-3pt S_u^{(a)} } \left(u_i^{(a)} - \bar {u}_i^{(a)} \right)\mu _i {\rm d}S \Bigg](58)$$

应用Lagrange方程, 则有

$$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {u}_i^{(a)} } + \frac{\partial U_m }{\partial \dot {u}_i^{(a)} } = 0(59)$$

经过一系列的运算, 解得

$$ \lambda _i^{(a)} = a_{ijkl}^{(a)} \frac{1}{2}\left({u_{k,l}^{(a)} + u_{l,k}^{(a)} } \right)n_j^{(a)}(60)$$

$$ \lambda _i^{(b)} = - a_{ijkl}^{(b)}\frac{1}{2}\left( {u_{k,l}^{(b)} + u_{l,k}^{(b)} } \right)n_j^{(b)}(61)$$

$$ \mu _i^{(a)} =a_{ijkl}^{(a)} \frac{1}{2}\left( {u_{k,l}^{(a)} + u_{l,k}^{(a)} } \right)n_j^{(a)}(62)$$

将式 (60)和式 (62)代入式 (58), 可得

$$ U_m = U + \sum\limits_{a = 1}^N \Bigg[ {\int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_{ab} } {a_{ijkl}^{(a)} \frac{1}{2}\left( {u_{k,l}^{(a)} + u_{l,k}^{(a)} } \right)n_j^{(a)} \left( {u_i^{(a)} - u_i^{(b)} } \right){\rm d}S + } } $$

$$ {\int\!\!\!\!\!\int\limits_{\kern-3pt S_u^{(a)} } {a_{ijkl}^{(a)} \frac{1}{2}\left( {u_{k,l}^{(a)} + u_{l,k}^{(a)} } \right)n_j^{(a)} \left( {u_i^{(a)} - \bar {u}_i^{(a)} } \right)} {\rm d}S} \Bigg](63)$$

综合以上论述, 可得

$$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial T_{\rm d}}{\partial \dot {u}_i^{(a)} } + \frac{\partial U_m }{\partial \dot {u}_i^{(a)} } = 0(64)$$

其中

$$ \left. {\begin{array}{l} T_{\rm d}= \mathop{\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt {V^{(a)}}} {\sum\limits_{a = 1}^N {\frac{1}{2}\rho \dot {u}_i^{(a)} \dot {u}_i^{(a)} } } {\rm d}V \\ U_m = U + \sum\limits_{a = 1}^N \Bigg[ {\int\!\!\!\!\int\limits_{\kern-2.5pt S_{ab} } {a_{ijkl}^{(a)} \frac{1}{2}\left( {u_{k,l}^{(a)} + u_{l,k}^{(a)} } \right)n_j^{(a)} \left( {u_i^{(a)} - u_i^{(b)} } \right){\rm d}S + } } \\ \qquad {\int\!\!\!\!\!\int\limits_{\kern-3pt S_u^{(a)} } {a_{ijkl}^{(a)} \frac{1}{2}\left( {u_{k,l}^{(a)} + u_{l,k}^{(a)} } \right)n_j^{(a)} \left( {u_i^{(a)} - \bar {u}_i^{(a)} } \right)} {\rm d}S} \Bigg] \\ \end{array}} \right\}(65)$$

这便是适于有限元计算的Lagrange方程,它提供了有限元计算的位移杂交元模型.

所谓位移杂交是指, 在无际边界$S_{ab} $上, 放松了对条件 (52)的要求,即原来要求精确满足无际边界条件 (52),现在只要求近似满足无际边界条件 (52).

这里还有一个问题需要说明, 以上是将式 (60)代入式 (58)中,是否可以将式 (61)代入式 (58)中呢? 回答是肯定的.这里可以用Lagrange乘子表达式的不唯一性来解释.

可喜的是,应用Lagrange方程建立位移协调元模型和位移杂交元模型和应用Hamilton原理建立位移协调元模型和位移杂交元模型相同.进一步可以判断,应用Lagrange方程得到的有限元列式与应用Hamilton原理得到的有限元列式相同.

9 展望

(1)连续介质分析动力学在学科性科学研究方面的前景

分析动力学的体系,有Lagrange体系、Hamilton体系、Lagrange-Hamilton体系,还有Birkhoff系统 (梅凤翔2013)、对称性与守恒量体系 (梅凤翔 2004).可见, 分析力学的体系确实是一个完美的体系 (钟万勰 2002).全面研究分析动力学的各个体系, 超出了本文的研究范围. 以下,仅展望连续介质分析动力学在学科性科学研究方面的前景.

1788年Lagrange出版世界上最早的一部分析力学专著《MécaniqueAnalytique》, 逐步形成分析动力学的Lagrange体系,其核心是Lagrange方程. 1834年和1843年W. R.Hamilton建立Hamilton原理和正则方程, 把分析力学推进一步.逐步形成分析动力学的Hamilton体系, 其核心是Hamilton原理.学术界一般认为Hamilton体系的优点是可以推广到新领域和应用变分学中的近似法来解题.基于这种认识, 在连续介质力学的研究领域中,对Hamilton原理的研究论文远远多于对Lagrange方程的研究论文.通过对Hamilton体系的广泛的、深入的研究, 有的学者甚至认为:理想流体力学, 弹性力学, 电动力学, 量子力学, 广义相对论,孤子与非线性波动理论, 都可以由 Hamilton体系来描述.

本文的工作表明,Lagrange-Hamilton体系把Lagrange体系和Hamilton体系联系起来,使得采用Hamilton体系能够完成的工作都可以用Lagrange体系来完成.例如, 上面提到理想流体力学可以由 Hamilton体系来描述;本文的工作表明, 不仅理想流体力学,而且不可压缩黏性流体动力学和可压缩黏性流体动力学都可以由Lagrange体系来描述.又例如, 上面提到弹性力学可以由 Hamilton体系来描述; 本文的工作表明,线性弹性动力学、非线性弹性动力学和黏弹性动力学都可以由Lagrange体系来描述.不仅如此, 本文作者的研究工作表明,刚--弹耦合动力学、刚--液耦合动力学、刚--弹--液耦合动力学、刚--弹--热耦合动力学和刚--弹--液--控耦合动力学都是既可以由Lagrange体系来描述,又可以由 Hamilton体系来描述.上面提到的电动力学、量子力学、广义相对论、孤子与非线性波动理论,包括它们构成的耦合学科, 经过认真地、深入地研究,都是既可以由Lagrange体系来描述, 又可以由 Hamilton体系来描述.由这些学科的杂交而来的耦合力学, 也应当是如此. 进一步,还可以研究出Lagrange体系的描述与Hamilton体系的描述各自的特点.可见, 这类研究有着广阔的前景. 但是, 由于这类研究涉及的学科繁多,要实现这种前景, 需要多个学科的学者的共同努力来完成.

(2)连续介质分析动力学在近似计算研究方面的前景

如前所述,学术界一般认为Hamilton体系的优点是可以推广到新领域和应用变分学中的近似法来解题.(1)中的论述表明, Lagrange体系和Hamilton体系一样,也可以推广到新领域. 下面将说明, 与Hamilton体系一样,Lagrange体系也可以应用变分学中的近似法来解题.

本文第7节以弹性动力学为例,研究了应用Lagrange方程建立有限元模型的问题. 研究表明,应用Lagrange方程得到的有限元列式与应用Hamilton原理得到的有限元列式相同.我们也曾对流体动力学和刚--弹耦合动力学进行同样的研究,得到同样的结论. 可见, 与Hamilton体系一样,Lagrange体系也可以应用变分学中的近似法来解题.

我们在研究弹性动力学的Hamilton原理和Lagrange方程时发现,将Hamilton原理和Lagrange方程退化到弹性静力学时, 都可以得到$\delta U = 0$, 这正是弹性静力学变分原理的表达式. 20世纪80年代,我国曾经出现变分原理的研究热潮, 主要研究弹性静力学的变分原理$(\delta U = 0)$.这个研究热潮推动了我国弹性静力学的变分原理理论发展,同时也完善了有限元素法的计算技术, 开发了大量的计算程序.由本文第7节可以发现, 应用Lagrange方程建立有限元模型时,并不涉及对时间的积分,便于将弹性静力学有限元素法的计算技术和开发的大量计算程序移植到弹性动力学中.在这种移植中, 注意将含加速度的项处理为含惯性力的项.

这里还可以进一步展望: 在展望(1)中提到,``还可以研究出Lagrange体系的描述与Hamilton体系的描述各自的特点''.经过长期的研究, Hamilton体系的描述的特点已经开发的比较充分.我们可以预言, 经过长期的研究,Lagrange体系的描述的特点也可以逐渐开发出来.例如``应用Lagrange方程建立有限元模型时, 并不涉及对时间的积分,便于将弹性静力学有限元素法的计算技术和开发的大量计算程序移植到弹性动力学中'',这便是Lagrange体系的描述的特点之一.

(3)电磁连续介质分析动力学

电磁连续介质理论研究的是电磁场与连续介质的相互作用.以往Maxwell和Lorentz关于电磁理论的研究都是建立在电磁介质不变形的基础上的.由于电磁元器件在使用过程中都会发生变形,许多情况下还和温度场耦合在一起,因此在变形介质中研究电磁连续介质理论, 越来越受到学术界的重视.对于磁流体连续介质理论, 实际上是等离子体流体力学.这类研究在航空和航天等高科技中有重要应用 (Dmitriy et al. 2007,Patel et al. 2007). 对于电磁固体介质, Kuang (2014)严格按照连续介质力学的方法系统地研究了变形电介质中的电场和机械力的作用,并基于电介质的物理变分原理, 进一步建立了电介质的Hamilton原理.梁立孚 (2011b)应用变积方法,建立了电磁场理论和压电力学的的变分原理和广义变分原理. Zheng 等(2010)建立了电动力学中电磁场的广义Hamilton原理. 黄彬彬等(2000)等应用变积方法,建立了压电材料Hamilton原理和各级广义Hamilton原理. Song 等(2013)应用变积方法,建立了压电体两类变量和三类变量的对偶形式的Hamilton原理. 王作君 等(2011)建立了电磁弹性动力学初边值问题12类变量广义Hamilton原理.Luo等 (2006)研究了电磁弹性动力学非传统Hamilton型变分原理. Luo 和Kuang (1999)建立了热压电体的Hamilton原理. Liu 和 Zhang(2007)在Hamilton体系下,建立了电磁热弹性壳的齐次状态向量方程和等参元列式. Song等(2009)应用变积方法建立了电磁热弹性体的Hamilton原理,但文献中建立的电磁热弹性体的变分原理不是完全耦合的变分原理,包含电磁弹性体的泛函和温度场的泛函两部分.

目前还没有关于电磁连续介质力学的Lagrange方程的研究. 按照前文所述,可以通过两种方式: 一是通过正确定义动能和势能,直接建立电磁连续介质力学的Lagrange方程;二是通过建立完全耦合的电磁连续介质力学的Hamilton原理,应用La-grange-Hamilton体系,进而建立电磁连续介质力学的Lagrange方程.

致 谢

The authors have declared that no competing interests exist.

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